Pada materi ini kita akan mempelajari bagaimana menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut kemudian menggunakan rumus tersebut dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.
Penguasaan materi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan perbandingan trigonometri sudut berelasi akan sangat membantu dalam mempelajari materi ini.
Berikut beberapa sudut relasi yang digunakan :
sin (90° - θ) = cos θ
cos (90° - θ) = sin θ
sin (180° - θ) = cos θ
cos (180° - θ) = -sin θ
sin (-θ) = -sin θ
cos (-θ) = cos θ
sin (α + β) dan sin (α - β)
Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada lingkaran sehingga OP = 1.
∠ POS = α + β
∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α
Untuk lebih detailnya, perhatikan diagram berikut
Dari segitiga OPS diperoleh
sin (α + β) = PS
PS = RS + PR dan RS = QT, dapat kita tulis
PS = QT + PR, akibatnya
sin (α + β) = QT + PR .........................(1)
Dari segitiga OPQ diperoleh
PQ = sin β
OQ = cos β
Dari segitiga OQT dipeoleh
sin α =
Q
T
O
Q
QT = sin α . OQ
QT = sin α . cos β ..............................(2)
Dari segitiga PQR diperoleh
cos α =
P
R
P
Q
PR = cos α . PQ
PR = cos α . sin β ..............................(3)
Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan
sin (α + β) = QT + PR
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Jika β diganti dengan -β, maka
sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β
Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai berikut :
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
• CONTOH SOAL
1. Diketahui cos α = 3/5 dan sin β = 5/13. Jika α adalah sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari sin (α - β) !
Jawab :
α lancip berarti α berada di kuadran I.
β tumpul berarti β berada di kuadran II.
cos α = 3/5 → sin α = 4/5
sin α bernilai positif karena α berada di kuadran I.
sin β = 5/13 → cos β = -12/13
cos β bernilai negatif karena β berada di kuadran II.
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
sin (α - β) = 4/5 . (-12/13) - 3/5 . 5/13
sin (α - β) = -48/65 - 15/65
sin (α - β) = -63/65
Komentar
Posting Komentar